Введение

«Загадок неразгаданных не счесть,
Хоть на догадки разум наш и падок,
И вот она, загадка из загадок…»
Л. Камоэнс. Сонет

«Между прочим, если вы ищите хорошую проблему…»
Р. Фейнман. Лекции по физике

Актуальность
Нет ни одной математической проблемы, которая бы ни была столь популярна, как знаменитая последняя (или великая) теорема Ферма. В переводе на современный математический язык Ферма утверждал, что уравнение
а^n + b^n = с^n, n ˃ 2
не имеет целочисленных решений  с  аbс ≠ 0.
Но и, хорошо изученный случай, для n = 2, (уравнение Пифагора: а² + b² = с²) имеющий бесконечное множество решений, в источниках, изученных нами, не имеет единой формулы для задания всех решений. Исключением оказалась аннотация работы казахстанского учёного Кожегельдинова С. Ш., который предложил общую формулу, задающую все решения уравнения Пифагора.
Поскольку решение диофантовых уравнений имеет не только теоретический интерес (они встречаются, например, в физике, астрономии, кристаллографии), то возникло желание попытаться самостоятельно найти решение, полученное Кожегельдиновым С. Ш. и, если удастся, применить полученные результаты к решению других диофантовых уравнений.
Противоречие: Имеется практическая необходимость выработать стандартный способ нахождения всех решений диофантовых уравнений второй степени и выше с двумя и более переменными, но на сегодняшний день, не существует единого способа или приёма, позволяющего решить любое диофантово уравнение, если его степень выше первой.
Указанное противоречие позволило сформулировать цель и задачи нашей работы, исходя из уровня личных знаний.
Цель работы: Нахождение способа задания общей формулы всех решений уравнения Пифагора, и рассмотрение возможных задачи, связанных с данным уравнением.
Гипотеза: Если удастся найти общую формулу для нахождения всех решений уравнения Пифагора, то возможно удастся применить полученные результаты и для решения других задач данного раздела математики, а может быть и для всех диофантовых уравнений второй и выше степени с двумя и более переменными, так как многие проблемы математики решались для частных случаев, а после обобщались.
Объект исследования: некоторые диофантовы уравнения второй степени с тремя переменными.
Предмет исследования: процесс нахождения общего решения уравнения Пифагора и рассмотрение задач, связанных с уравнением Пифагора.
Задачи:
1. Познакомиться с методами и приёмами, использовавшимися для решения уравнения Пифагора.
2. Рассмотреть возможность использования арифметических функций к решению диофантовых уравнений.
3. Самостоятельно вывести общую формулу решений уравнения Пифагора.
4. В случае удачи, рассмотреть возможность применения полученных результатов при решении задач, связанных с уравнением Пифагора.
Планирование ожидаемых результатов:
Работа над проектом поможет найти общую формулу решений уравнения Пифагора и оценить перспективы применения полученных результатов для решения других неопределённых уравнений второй степени.
Критерии оценки ожидаемых результатов:
— выявление возможности использования арифметических функций к решению уравнения Пифагора и задач, связанных с ним;
— нахождение единой формулы всех решений уравнения Пифагора;
— рассмотрение возможности использования полученных результатов для решения близких задач.
Методы исследования
1) изучение литературы;
2) консультация со специалистами в области алгебры и теории чисел;
3) анализ теоретических данных;
4) наблюдение за числами и арифметическими функциями;
5) сопоставление накопленных теоретических данных с наблюдаемыми;
6) проведение расчетов и соотнесение их с результатами полученными другими авторами.

Также по этой теме: